为什么算数纸牌游戏是计算24点而不是别的数

为什么算数纸牌游戏是计算24点而不是别的数？这其实是一个有意思的问题。

最简单的答复：因为24约数多啊！稍微认真点的回答：因为24有8个正约数，1、2、3、4、6、8、12、24，是一个超级合数，容易通过乘法来得到它，而且24本身也不太大，用4张扑克牌（点数1~10或1~13（J、Q、K分别代表11、12、13）），也比较容易通过加法来得到24，总之，通过四则运算算得24的方案数较多，所以随意抽取4张牌，有解的可能性较大，游戏也比较容易顺畅地进行。然而，这样的回答能令人满意吗？我认为不能。“可能性较大”是什么意思？有多大？和别的数比呢？——Talk is cheap, show me your data.要算概率，首先计算4张牌可能出现的组合：如果4个数的范围都是1~10，那么去除重复的情况，不同的组合数为C{10+4-1}^{4}=\frac{13!}{4!\times 9!}=715种。如果4个数的范围都是1~13，那么去除重复的情况，不同的组合数为C{13+4-1}^{4}=\frac{16!}{4!\times 12!}=1820种。当然，由于扑克牌张数的特殊性，每种情况出现的概率实际上并不相等，甚至相差很大（比如实际上出现[3,4,5,6]的可能性是[6,6,6,6]的可能性的4^{4}=256倍），不过为了简化问题，只考虑哪些情况是有解的，并用有解的组合数/总组合数来计算有解的概率。正巧我最近刚开始自学Java，于是顺手编了一个算24的小程序，来计算所有数字组合的24点，写好代码，剩下的就交给计算机了！

嗯，结果出来了：

对于4个数均为1~10的715种情况，有566种有解，概率为79.16%；对于4个数均为1~13的1820种情况，有1362种有解，概率为74.83%。也就是说，如果我们只用数字牌，大约4/5的情况是能算出24点的，如果加上人头牌，这个概率大约是3/4。因此，玩24点游戏，总体来说还是比较顺畅的。当然，问题还远没有结束。对别的数，这个概率是多少呢？于是改一下程序，看看同样的组合，计算1~100的正整数，能算的概率是多少。

结果：1）四张扑克牌均为1~10时，结果如下图所示：横坐标为要计算的数，左边的纵坐标为有解的组合数，而右边纵坐标代表的是有解的概率。

是不是很出人意料！有最多解的计算值并不是24点！而是——2点。4个1~10的数计算2，有解的组合数为709组，有解概率高达99.16%24呢？正如红圈所示，虽然有解率很高（明显高于23和25），但也并不是鹤立鸡群！你看，18和20有解的概率就比它高！2）四张扑克牌均为1~13时，结果如下图所示。

有解概率上，依然是2遥遥领先！因此，我的回答是：我们算24点，其实并不仅仅因为24点的有解概率大（虽然24的有解概率确实也不小，所有大于24的数有解概率都比24点小），如果只是为了有解概率大，那么我们应该计算2、3、1、4等小自然数。我们之所以会去算24，乃是因为它在有解概率较大的情况下，比那些小自然数有了更多的变化性（比如38，46，18+6，14+10……），因此计算起来更具有技巧些，因此对思维的训练也更有帮助。其实呢，24点，如果算厌倦了，也可以算算20点、36点等等，它们的有解概率也是很大的哟！另外，对于计算高手而言，算24点似乎简单了些，因为总共就715种或1820种变化，难题也就诸如[1,5,5,5]、[1,3,4,6]、[1,4,5,6]、[2,7,7,10]、[3,3,7,7]、[3,3,8,8]、[4,4,7,7]等寥寥几个，很容易就会厌倦的。