赫尔德不等式证明

赫尔德不等式的证明方法多种多样，其核心思想源于杨氏不等式。首先，我们注意到，如果函数f的Lp范数||f||p为零，那么它μ-几乎处处为零，同时乘积fg的μ-几乎处处也为零，这导致不等式的左端直接为零。同理，如果g的Lq范数||g||q为零，不等式右端也为零。所以，我们可以假设||f||p和||g||q都大于零。

其次，当||f||p或||g||q达到无穷大时，不等式的右侧也相应地为无穷大。因此，我们进一步限制||f||p和||g||q在(0,∞)的范围内。

特别地，当p等于无穷大且q等于1时，不等式可以通过勒贝格积分的单调性得出。对于p为1和q为无穷大的情况，推理过程类似。所以，我们也可以假设p和q都位于(1,∞)区间。

接下来，我们通过将f和g分别除以||f||p和||g||q，进行简化。然后，利用杨氏不等式，我们知道它仅当a等于b时才成立，即：

对于所有非负的a和b，有：

a^p = b^q

将这个关系应用到积分上，我们便得到了赫尔德不等式的证明。

特别地，在p和q都在(1,∞)的范围内，并且||f||p和||g||q都等于1时，等式成立的条件是几乎处处有|f|p = |g|q。更一般地，当||f||p和||g||q在(0,∞)内时，赫尔德不等式成为一个等式，当且仅当存在正的α和β（其中α=||g||q，β=||f||p）满足：

μ-几乎处处，(*) 当β为零时，||f||p=0的情况成立；当α为零时，||g||q=0的情况成立。