常用著名不等式

本文将介绍竞赛中常用的几个不等式，包括基本不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式与其他不等式。文章将列举不等式，通过例题加深理解。

基本不等式是基础，二元形式为 公式，变形为 公式。注意，基本不等式的适用范围，一是全体实数，二是正数。由基本不等式得出的推论包括：公式，公式，公式。基本不等式可以推广为 公式 元形式，取等条件为 公式。本质上是均值不等式，算术平均值不小于几何平均值。

柯西不等式十分重要，形式为 公式。二维代数形式为 公式。二维三角形式为 公式。复数形式为 公式。积分形式为 公式。柯西不等式的推广形式为 公式。例题中，利用柯西不等式解决 公式 的问题。

排序不等式，又称排序定理，描述了乱序和、顺序和、逆序和之间的关系。不等式为：公式。排序不等式反映了调整的思想，可以用来证明其他不等式，如柯西不等式和切比雪夫不等式。例题包括利用排序不等式解决 公式 的问题。

切比雪夫不等式类似于排序不等式，但包含一项。形式为 公式。切比雪夫不等式可以由排序不等式证明。推广形式为 公式。例题中，利用切比雪夫不等式解决 公式 的问题。

琴生不等式，基于凸函数。形式为 公式。琴生不等式可用于判断函数的凹凸性。例题包括利用琴生不等式解决 公式 的问题。

其他不等式包括均值不等式、加权平均不等式、权方和不等式、赫尔德不等式等。这些不等式不作为重点，但可作为知识扩充。掌握这些不等式，不仅有助于解题，也可以作为工具提供帮助。

文章内容涵盖多个不等式，旨在提供一个全面的概述。读者在使用时，请根据具体情况灵活运用。